计算机中的二进制

计算机并非生来就是二进制的天下。Babbage 最初的 Analytical Engine 计算机构想就是十进制；最早的现代计算机之一 ENIAC 也是十进制。把二进制推广开来的，可能是世界上第一台能储存程序的电子计算机 Manchester Mark 1。现如今大部分计算机都是采用二进制，人们熟知的计算机中存放每个 0/1 的「位」 bit ，就是 Binary Digit 的简写。

在计算机中，二进制对应的是信号的两个状态：有和无。初看起来只用 1 和 0 来完成所有工作效率很低，如同绘画时颜料盒里只有三原色，想要别的都需要自己从头调配起。但实际上这样保证了信号的精准。

比如我们规定 2.9V 的电压代表 1， 0V 代表 0，但实际运行中电压不会那么精准 —— 本该是 2.9V 的时候，可能波动产生的是 2.5V/2.6V/…. 而本该是 0V 的时候，可能还会有微弱的 0.1V/0.2V…。 这种情况下，我们可以把捕捉到的电压匹配为非 0 即 1，比如1V 以下的都算作 0，2V以上的都算作 1，这样就大大提高了容错率。

更直观的一个例子是，如果有一个可调节亮度的灯泡，把它的亮度范围划分为 N 档，然后让一个人来观察判断灯泡当前亮度是第几档，很可能会判断错。但如果我们只让他判断灯是亮是灭，就很难出错了。

因此，电子信号本身的特点，让二进制成为了当前计算机的最佳选择。随着量子计算机的发展，将来计算机采用的进制，可能是由可精确控制的量子状态数决定的。

说回目前来。用二进制记数本身并不会比十进制的功能弱，凡是我们现实中用十进制能表示的内容，二进制都可以完成，只是往往占用更多数位，且习惯了十进制的人类不太易读罢了。

所以很多时候要用到二进制与十进制之间的转换。

二进制与十进制换算 （正整数）

二进制换算为十进制

大部分人看到123 这个十进制数字都能脱口念出「一百二十三」，也很清楚它到底代表了多大的一个数。但实际上这里边是有一个对数位权重 (magnitude) 的计算过程的：1 在百位， 2 在十位， 3 在个位，因此 123 这个十进制数字的大小为 1 x 100 + 2 x 10 + 3 * 1。

十进制数中，每个数位权重从右向左为 10⁰ (1), 10¹ (10), 10² (100)… 递增

其实二进制也是一样：

二进制数中，每个数位权重从右向左为 2⁰ (1), 2¹ (2), 2²（4）… 递增

既然十进制的 123 可以变成 1 x 100 + 2 x 10 + 3 * 1， 也就是 1 x 10² + 2 x 10¹ + 3 * 10⁰。那如果你看到以下这个二进制数字：

101

也很完全可以按照相同方法计算：1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰。在我们正常人的记数方式，也就是十进制下，它的值就是 4 + 0 + 1 = 5。

下图为 000~111 范围内二进制转换为十进制的值（这里只考虑正整数所以无符号位。符号位会在下边提到。）：

二进制换算十进制方法：

1. 从右至左，确定每个数位的权重，最右为 2 的 0 次方，然后为 2 的 1 次方…… 如此迭加。
2. 每个数位上的值（在二进制中就是 0 或 1），乘以权重。
3. 各位的值相加

十进制整数换算为二进制

思路就是跟上边二进制转换为十进制相对，反其道而行之：

比如把十进制数字 43 化为二进制。

43 表示这个数中有 4 个 10¹， 3 个 10⁰。现在只需要从高位到低位，看看里边有多少个 2ⁿ… 2⁰:

十进制换算二进制更简单的一个方法：

1. 将十进制数重复除以 2， 每次记录余数。 （除以 2 的余数只可能为 1 或 0）
2. 除至商 为 0 之后，将所有余数从最后到最前连起来。

二进制中的负数、小数

确定了用二进制之后并非万事大吉。正整数的表示如上边所述很直观，但还有其它问题等待解决：负数该怎么表示？分数、小数该怎么表示？数字的数位过多，bit 不够用了该怎么办？

负数与补码

负数该如何表示在计算机中是个重要问题，因为加减乘除运算说到底都是通过累加器完成。比如减法，其实 a - b 就是 a + (-b)。

最容易想到的负数表示方案，就是专门用一个 bit 位的 1 和 0 来记录数字的正负号。目前计算机记数也的确采用了类似设计：对于带符号 (signed) 的二进制数，若此数为正数，则最左边的数位为 0 （也就是说，上边的 43 在有符号位的情况下应该表示为 01010011）；若为负数，则最左边的符号位是 1。

比如 0101 ，最左边是 0, 所以是正数。其余部分为101 即 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 5。所以 0101 就是 +5。

正数的情况很好理解。然而如果换掉上边 +5 的符号位，即1101，得到的却不是想象中的 -5。

…… ？

这是因为在表示负数的时候，我们不是直接变换符号位即可，而是采用了一个稍微复杂点的 2 的补码或称「二补数」 (2’s complement) 的方式。在这规则下，虽然依旧满足最左边的数位在整数时为 0， 负数时为 1，但这个数位却不只是简单的「符号位」了。

这部分看起来有点绕，但只需要记住下面的实际操作方法即可。

具体来说，在 2 的补码规则中，如果要把一个正数（如 +5， 也就是0101 ）表示成负数，需要这样做：

1. 把包括符号位在内的每个位数字取反，1 变 0，0 变 1。（0101变为1010 ）
2. 给取反之后的结果加 1。（1010变为1011 。也就是说 -5 一般表示为 1011 ）

2 的补码这种奇怪的表示负数的方式完全是人为选择的。但当初的工程师们决定绕这么一个弯子有其道理 —— 假设如果我们采用一般人想到最直观的表示方式：只变换符号位，其他部分不变。那么就会有这么两个问题：

1. 表示 0 的情况重复了。0000 和 1000，一个表示 + 0， 一个表示 - 0。
2. 正负相加的运算不能用直观的累加完成了。 比如 5 和 -5 相加结果为 0，如果写成只以符号位区分的二进制，就是 0101 和 1101相加，结果为 10010 而不是本应用来表示 0 的 0000（或 1000）。再比如 -5 + 1，就是 1101 + 0001，结果为 1110，而不是本应用来表示 -4 的 1100。

这两个问题的共同结果是让数字电路设计复杂程度大大增加了。

现在用 2 的补码试试，发现这两个问题都解决了：

1. 只有 0000 才是表示 0， 1000 在 2 的补码方式中不再是 - 0。按照上边讲的运算方式反推可以发现，1000 表示的是 -8。
2. 正负相加的运算可以用直观的累加完成。还以 5 和 -5 为例，5 为 0101，-5 这时候变成了 1011，相加为 10000。只需要忽略最左边溢出的那一位，右边四位正好是 0000，也就是 0。

所以对计算机来说，2 的补码确实是更好用的表示负数的方式。

下表是「变换符号位」，「1 的补码 （对整数的所有数位取反来表示负数）」，「2 的补码」三种负数表示方式在 0000 ~ 1111 范围内表示的十进制数值对比。

十进制值	变换符号位	1 的补码	2 的补码
+7	0111	0111	0111
+6	0110	0110	0110
+5	0101	0101	0101
+4	0100	0100	0100
+3	0011	0011	0011
+2	0010	0010	0010
+1	0001	0001	0001
+0	0000	0000	0000
-0	1000	1111	-
-1	1001	1110	1111
-2	1010	1101	1110
-3	1011	1100	1101
-4	1100	1011	1100
-5	1101	1010	1011
-6	1110	1001	1010
-7	1111	1000	1001
-8	-	-	1000

十进制与二进制负整数的换算

负整数的换算与前边的正整数换算方法类似：

二进制转十进制：

依然是各数位上的值乘以权重相加，但最左边权重最大的那个 1 x 2ⁿ 为负值。如 1010 = - 1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁰ = - 6。

当然也可以先对这个负二进制数反向取其 2 的补码，得出其绝对值，接下来只要算出这个绝对值的十进制值然后加上负号即可。

十进制转二进制： 先把其绝对值换算为二进制数，然后按照前边 2 的补码规则把正数转化为负数即得出。

小数

二进制中小数与十进制并无差别。十进制中小数点后从左至右依次是 10^-1, 10^-2… 二进制小数点后则为 2^-1, 2^-2…

二进制小数转十进制小数与前边整数的转换方式完全相同，不过就是数位权重从 2 的正数次幂扩展到了负数次幂。比如 01.01 就等于 1 x 2⁰ + 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 = 1.25。

十进制小数转二进制稍微复杂一些，方法如下：

1. 先忽略小数部分，只换算整数部分，接下来再针对小数部分
2. 把小数部分乘以 2。若乘积 ≥ 1，则小数点后一位值为 1；若乘积 < 1，则小数点后一位值为 0。
3. 重复步骤 2，将得到的 1 或 0向右继续添加。每次重复时都忽略上一次乘 2 时可能产生的整数 1，只计算小数部分。
4. 若出现乘积 = 1 或循环，则换算结束。

以 3.625 为例：

1. 整数部分 3 换算为 0011。
2. 小数部分 0.625 x 2 = 1.25，乘积 > 1，故小数点后第一位数字为 1。
3. 重复上边步骤，去掉 1.25 的整数部分，继续用 0.25 x 2 = 0.5。乘积 < 1，故下一位数字为 0；重复上边步骤，继续用 0.5 x 2 = 1，故下一位数字为 1，且这里出现了乘积 = 1 的情况。
4. 换算结束，把刚才的结果连起来为：0011.101

循环的情况可以试试把十进制的 0.1 转化为二进制。（这里有个有趣的现象就是，计算机虽强大却无法准确表示像 0.1 这样简单的十进制数字。另外要说明的是浮点不在本文范围内。）

长度与溢出

本文中出现的二进制数字大多是 4 位的，这只是为了行文方便随便举的例子，在计算机运算中会涉及到多种长度的二进制数。

比如一个字节 (byte) 等于 8 位 (bit，即 binary digits)，也就是说一个字节可以存储 8 个二进制数。再比如平时所说的 32 位/ 64 位 CPU，指的是该 CPU 一次能处理的数据长度，所以 x 位的 CPU 指令往往就是个 x 位长的二进制数。 P

补位

在十进制运算中，遇到不同长度的数，只需要把「个位」对齐就可以计算了。这里边有个隐含的动作是给短的数补上了很多 0。如 123 + 4，其实是当作 123 + 004 来计算。在一个数字前补上多少个 0 都不会影响其实际大小。

但计算机在表示负数时不光是把十进制换成二进制，还用了 2 的补码。因此补位的规则就不能是简单的补 0 —— 假如把 1011 (-5) 补成 8 位, 直接补上 0 会变成 00001011, 符号位是 0, 变成了 +11。

因此，2 的补码规则下的二进制补位时，应该是补上符号位的值，即正数补 0，负数补 1。如上边的 1011 应该补为 11111011，值依然是 -5 不变。

溢出

数字相加时会出现进位。既然有进位，那么在长度有限的情况下有可能发生溢出。

正数的溢出很容易判断：只要最高位发生了进位，就一定是溢出了。

负数则不然，如 1110(-2) + 1110(-2) = 11100(-4)，虽然最高位的 1 进出了一位，但结果仍然是正确的。负数溢出判断规则：如果最高位进入的和进出的一样，则没有发生溢出，否则溢出。上边的 1110 + 1110，最高位会收到次高位进过来的 1，然后又向进出了一个 1。所以并未溢出。